Matematika · Srednja škola

Rastav na Faktore

Rastav na faktore je obrnuti postupak od množenja — umjesto da razvijamo zagrade, tražimo faktore čijim bi množenjem dobili polazni izraz. To je jedna od najvažnijih vještina u algebri jer se primjenjuje u rješavanju jednadžbi, kraćenju razlomaka i kasnijim temama.

Tri su temeljne metode: izvlačenje zajedničkog faktora, rastav pomoću formula za kvadrat binoma i razliku kvadrata.

Kako to funkcionira?

Metoda 1: Zajednički faktor

Ako svaki član polinoma dijeli zajednički faktor, izvučemo ga ispred zagrade:

ka + kb = k(a + b)

Primjer: 6x + 9 = 3·2x + 3·3 = 3(2x + 3)

Metoda 2: Razlika kvadrata

a² − b² = (a − b)(a + b)

Primjer: x² − 16 = x² − 4² = (x − 4)(x + 4)

Metoda 3: Kvadrat binoma

(a + b)² = a² + 2ab + b² → rastav: a² + 2ab + b² = (a + b)²

(a − b)² = a² − 2ab + b² → rastav: a² − 2ab + b² = (a − b)²

Primjer: x² + 10x + 25 = (x + 5)² (jer 2·5 = 10 i 5² = 25)

Kako prepoznati metodu?

  • Svaki član ima isti faktor → zajednički faktor
  • Razlika dva kvadrata, nema sred. člana → a² − b²
  • Trinomija x² ± 2bx + b² → kvadrat binoma (provjeri: srednji koef. = 2b)

Tipične pogreške učenika

  • Pogrešno prepoznati kvadrat binoma: x² + 6x + 9 nije (x+3)(x+9).
  • Zaboraviti predznak: x² − 8x + 16 = (x−4)², NE (x+4)².
  • Nepotpuno rastavljanje: zajednički faktor nije u potpunosti izvučen.

Interaktivno istraživanje

Zadaci za vježbu

  1. Rastavi: 10x + 15 = ? (Rješenje: 5(2x + 3))
  2. Rastavi: x² − 36 = ? (Rješenje: (x−6)(x+6))
  3. Rastavi: x² + 14x + 49 = ? (Rješenje: (x+7)²)
  4. Rastavi: x² − 12x + 36 = ? (Rješenje: (x−6)²)
  5. Rastavi: 4x² − 25 = ? (Rješenje: (2x−5)(2x+5))

Provjeri svoje znanje

Zapinje li ti ova tema?

Možemo pomoći kroz individualne instrukcije prilagođene tvom tempu.

Javi nam se